El arco iris Parte I: Los fundamentos

¿Por qué el arco iris es un arco y no cualquier otra figura: una línea recta por ejemplo? ¿Por qué sigue la secuencia: rojo, naranja, amarillo, verde, azul índigo y violeta, si comenzamos a enumerar desde afuera y no cualquier otra secuencia? ¿Por qué incluso es posible llegar a ver dos arco iris: uno dentro del otro con los colores invertidos uno respecto del otro? ¿Será posible observar un arcoíris incluso de noche, a la luz de la luna?

En esta serie de tres artículos intentaremos responder todas estas preguntas. En este primer número repasaremos algunos conceptos clave como la reflexión y la refracción. En el siguiente número le seguiremos la pista a la olla de monedas de oro partiendo de una simple gotita de agua. El tercer artículo, será el turno de fenómenos más extravagantes…

Mirar nuestro reflejo al espejo es un fenómeno cotidiano para nosotros, pero por qué no plantearnos un experimento pensado como el de la Figura 1. Si, en efecto, hacemos incidir un haz de luz láser sobre un espejo plano, el ángulo i que se forma entre el haz y la perpendicular al espejo, será igual al ángulo que se forma entre el haz reflejado y la misma perpendicular al espejo plano.

Figura 1 Reflexión de un haz de luz sobre un espejo plano.

Si bien los griegos no tenían láseres, pero si la luz del sol, charcos de agua y lagos. Se preguntaron ¿por qué ambos ángulos habrían de ser iguales? Debía de ser que la luz, bajo una trayectoria tal, recorría la distancia mínima entre, digamos el punto A y el B, pasando por C.

Pero, preguntémonos ahora, qué pasa si entre el trayecto de la luz de un punto P a un punto Q se interpone un cambio de medio como de aire a agua por ejemplo. Consideremos un popote dentro un vaso con agua, como el de la Figura 2. Para nosotros que observamos la luz que proviene del popote tanto dentro del agua como dentro del aire, es claro que el popote no está doblado, sino que la luz nos ha hecho una mala jugada. A este fenómeno se le conoce como refracción y se da cuando la luz cambia de medio de propagación.

Figura 2 La refracción de la luz al cambiar de medio provoca imágenes curiosas como ésta en la que el popote se quiebra en la frontera entre el agua y el aire.

Consideremos la Figura 3, supongamos que un rayo de luz va del punto P al Q pasando por el punto O, donde hay un cambio de medio (el Medio 1 puede ser el aire fuera del vaso y el Medio 2 podría ser por ejemplo el agua dentro del vaso). Recordemos la premisa conocida desde los tiempos de los griegos la luz viaja de un punto a otro recorriendo la trayectoria más corta, ¡nos encontramos con una contradicción! Sin embargo, es claro que la trayectoria quebrada que recorre la luz luego de cambiar de medio ¡NO ES LA MÁS CORTA!

Allá por el siglo XVI, al astrónomo Willebrord Snellius, se le ocurrió proponer que la luz no sigue la trayectoria más corta sino ¡la más rápida! Este es el fundamento de lo que ahora se conoce como la Ley de Snell, que fue sino Fermat quién la probó y que deduciremos a continuación.

Figura 3 Esquema del trayecto que sigue la luz en su camino entre P y Q pasando por O en la frontera entre dos medios distintos.

Consideremos los puntos P y Q de la Figura 3, el tiempo que nos toma ir de uno a otro lo denotaremos por tPQ y es la suma del tiempo que nos toma ir de P a O, más el tiempo que tomamos para ir de O a Q:

Si consideramos que la velocidad es el cociente entre la distancia recorrida entre el tiempo que nos toma el trayecto v= d⁄t, despejando el tiempo a partir de esta expresión y sustituyendo en la expresión para tPQ:

Donde PO y OQ son las distancias de P a O y de O a Q respectivamente, v1 es la velocidad de la luz en el medio 1 y v2 en el medio 2.

A partir de los triángulos rectángulos de lados a, b, PO y de lados d, e y OQ, podemosexpresar las distancias PO y OQ de la siguiente manera:

Con la derivada de la expresión anterior igualada a cero y un poco de trigonometría obtenemos las posiciones exactas de los puntos P, O y Q tales que el tiempo para ir de P a Q sea mínimo:

Así, para minimizar el tiempo necesario para ir de P a Q, sólo basta con que:

Este resultado al que hemos llegado, se conoce como Ley de Snell. Partiendo, de que la trayectoria que toma la luz es aquella que minimiza el tiempo de desplazamiento y no la distancia recorrida, es posible obtener esta expresión que explica “la línea quebrada” de la luz cuando cambia de medio: la luz incide en la frontera entre aire y agua con un ángulo, sale de la frontera con otro a fin de minimizar su trayecto en tiempo. Retomando la última expresión, podemos decir que la luz se doblará más en tanto que la velocidad de la luz en el medio 1 difiera de su velocidad en el medio 2.

La siguiente semana partiremos de estos conceptos, los aplicaremos a una gotita de agua para explicar cómo se forma el arco iris.

Por Dulce Ambrocio Alazañes del CTIN