El arco iris. Parte 2.2: “El juicio final”

En esta parte de la saga, partiremos de conceptos a los que llegamos en los dos ejemplares anteriores (Parte 1 Los fundamentos, Parte 2.1 La reconstrucción de los hechos).

Repasemos los conceptos siguientes:

• La refracción de la luz es el cambio de dirección en la propagación de la luz cuando cambia de medio, de un medio de propagación que llamaremos medio 1, donde la luz se propaga a una velocidad v₁, a un medio distinto que llamaremos medio 2, donde la luz se propaga a una velocidad v₂.
• La refracción de la luz obedece la Ley de Snell:

Donde i es el ángulo con el que la luz incide en la frontera entre ambos medios y r es el ángulo con el que la luz penetra en el medio 2.

• Cuando la luz del sol entra en una gotita de lluvia, sufre tres cambios en su dirección de propagación. La Desviación total se denota por D:

D= π+2i-4r

• La luz que proviene del sol está compuesta por radiación de muchas frecuencias. En su espectro, la luz solar contiene rayos UV y radiación infrarroja, ambas invisibles a nuestra vista, a diferencia de la luz visible que podemos percibir a simple vista y que podemos descomponer con un prisma y observar la gama de colores que van desde el azul, el índigo, pasando por el verde, el amarillo, el naranja y rojo.

Si observamos a detalle la expresión de la desviación D, podemos notar que D es una función de los ángulos i y r. Como ambos ángulos , de acuerdo a la Ley de Snell, son funciones de la velocidad de propagación de la luz en el medio 1,v₁ y de la velocidad en el medio 2, v₂. Es así, que podemos expresar D de la siguiente manera:

Expresada de esta manera, D es función del ángulo de incidencia, aunque también lo es de la velocidad con que la luz se propaga en el medio 1 así como de la velocidad con que se propaga en el medio 2.

Por otra parte, resulta que el mínimo de esta función D, ocurre en D(i)≈138° y para i≈59.4°.

Lo interesante de este hecho es que para valores cercanos a 59.4°, ∆D/∆i≈0, lo que significa que muchos rayos de luz se desvían casi lo mismo. En efecto, la luz proveniente del sol incide sobre la superficie de la gota en distintos ángulos de incidencia, como lo muestra la Figura 1. Rayos con ángulo de incidencia cercano a 59.4°se desviarán casi lo mismo, es decir, se concentran provocando que el arcoíris primario sea tan brillante.

Figura 1 Distintos ángulos de incidencia de los ratos del sol sobre la superficie de una esfera.

Ahora bien, podemos preguntarnos por la secuencia de colores del arcoíris. Para llegar a ese punto, consideremos que cada color que compone la parte visible de la luz del sol viaja a la misma velocidad en el aire, pero no en el agua. De hecho, a cada color le corresponde un valor distinto para el cociente v₁/v₂ , donde v1, es la velocidad de la luz en el aire (que es la misma para todos los colores), y v₂, es la velocidad de la luz en el agua, que depende del color. Para el azul y el rojo, los extremos en el espectro visible de la luz del sol, los valores del cociente v1/v2 son: v₁/v₂ =1.343 para el azul y v₁/v₂ =1.331 para el rojo.

Distintos valores del cociente v₁/v₂ , dependiendo del color, provocan que la desviación D mínima y el ángulo de incidencia i a la cual ocurre D, dependan también del color. Es así, que el ángulo de incidencia necesario para que los rayos de luz azul se concentren es de 58.8°, mientras que para el rojo es de 59.5°.

Consideremos no el ángulo de desviación D, sino su complementario φ, como lo muestra la Figura 2. El ángulo φ para el color rojo es de 42°, para el color azul es de 41°.

Figura 2 Ángulo de desviación φ, complementario de la desviación D.

Si la desviación D era mínima en el punto de concentración máxima de luz, su complementario (φ=D-π) será máximo en el mismo punto. Así, que la desviación máxima φ para el color rojo es de 42° y 41° para el color azul.

Si tomamos en cuenta una sola gota de lluvia, como ningún color se desvía más que el rojo, la desviación máxima de la luz es de 42°, para el azul la desviación es de 41°. En la Figura 3, se ilustran estas desviaciones. Como se muestra en la misma figura, dada la simetría de la gota, la luz del sol incide sobre la superficie de la gota y sale de ella en forma de cono de 42° para el color rojo, el cono de 41.4° para el color azul, el resto de los colores tienen desviaciones entre ambos conos.

Figura 3 Cono de luz que sale de una gota de lluvia luego de 2 refracciones y una reflexión de la luz solar que incide sobre la gota.

Figura 4 Si se proyectara sobre una pantalla el cono de la Figura 3, se observaría este patrón.

Fuera del cono del color rojo, no hay luz, pues la desviación del rojo es la máxima de entre todos los colores: ningún color escapa al cono de 42°. Dentro del cono azul, se encuentra la luz que se desvió menos que la desviación máxima, es decir, dentro del cono azul se concentra luz de todos los colores (recombinándose en luz blanca). Si proyectáramos la luz que sale de la gota en una pantalla veríamos un patrón como el de la Figura 4.

Figura 3 Caso 1, por encima del cono de 42°, se observa una región más oscura que el resto.

Figura 4 Caso 2, por dentro del cono de 41°, se observa una región más brillante que el resto.

Considerando que cada gota emite un cono de luz como el de la Figura 4. Preguntémonos qué pasa si miramos hacia el cielo en los tres casos siguientes:

• Caso 1, como en la Figura 5, por encima del cono de 42° observaremos una zona oscura, pues recordemos que las gotitas concentran la luz dentro del cono de 42°.
• Caso 2, como en la Figura 6, dentro del cono de 42°, observaremos una zona muy iluminada donde las gotitas concentran la luz de todos los colores, que se recombina en luz blanca.
• Caso 3, como en la Figura 7, el cono de 42° nos dará el color rojo, mientras que el cono de 41° nos dará el color azul del arcoíris y el resto de los colores en conos contenidos entre los dos anteriores.

Figura 8 Caso 3, a la altura del cono de 42°, llega el color rojo a nuestros ojos, a la altura del cono de41° llega el color azul.

Figura 9 La imagen que llega a los ojos del observador es en realidad un Circulo-iris

Los conos de la Figura 8 ilustran la secuencia de colores que observamos en un arcoíris: el rojo en la parte superior del arco, el azul en la parte inferior del arco, ambos flanqueando el resto de los colores. Ahora bien, ¿por qué observamos un arco y no una línea u otra figura? Dada la geometría del problema, no existe una dirección privilegiada y exclusiva en la que sucede el caso de la Figura 8, sino que sobre el cono de visión de 42° se observará el rojo, el azul a los 41°, el resto de los colores entre ambos. Si estamos en una montaña o en una región alta podremos observar un circulo-iris, de lo contrario, el horizonte tapará el semi-arco inferior y observaremos solo la mitad, es decir, un arcoíris.

Las siguientes imágenes ilustran los hechos anteriores. La Figura 10 muestra la zona oscura, la secuencia de colores del arco (rojo al exterior y azul al interior). La Figura 11 muestra un circulo-iris, observado desde un lugar alto.

Figura 10 Arco-iris con su respectiva secuencia de colores, flanqueado por una zona oscura y una muy iluminada al interior

Figura 11 Circulo-iris

Por Dulce Ambrosio del CTIN