Análisis armónico en fractales

Con la finalidad de ampliar los conocimientos sobre el análisis armónico en fractales —los modelos matemáticos que estudian y explican fenómenos de la naturaleza—, el director de la Facultad de Ciencias de la Universidad de Colima (Ucol), Ricardo Alberto Sáenz Casas, investiga sus propiedades a partir de la energía generada por la distribución de calor.

El doctor en matemáticas, nivel I del Sistema Nacional de Investigadores (SNI), enfoca sus esfuerzos en estudiar las propiedades de las funciones armónicas en fractales, que se han estado investigando los últimos 20 años, por lo que es un área de las matemáticas relativamente nueva.

Agencia Informativa Conacyt (AIC): ¿Qué es una función armónica?

Ricardo Alberto Sáenz Casas (RASC): Es una función que optimiza o minimiza la energía de un sistema. Por ejemplo, si yo tengo una plancha y le pongo una fuente de calor en la frontera y esperamos a que el calor se distribuya, llega un momento en que el calor ya no cambia. En ese momento en que el calor ya está en equilibrio en la plancha te queda una distribución, la cual es una constante en el tiempo que minimiza la transmisión de la energía. Entonces a esa distribución de calor en equilibrio se le llama función armónica.

El estudio clásico en matemáticas de las funciones armónicas aborda las propiedades de estas funciones. En una función armónica, en cada punto el valor de la función es igual al promedio alrededor del punto.

Distribución de la energía en fractales

AIC: ¿Se puede estudiar esta área de las matemáticas en superficies que no sean uniformes?

RASC: Desde hace unos 30 años la gente se empezó a preguntar si podemos estudiar un sistema, pero no en algo que se ve como una plancha, un espacio uniforme, sino en algo como un fractal, que es un modelo matemático que describe y estudia objetos y fenómenos frecuentes en la naturaleza que no se pueden explicar por las teorías clásicas y que se obtienen mediante simulaciones del proceso que los crea.

El cuestionamiento es el mismo que en el estudio clásico: si a esa figura geométrica se le pone una fuente de calor en un punto determinado, el calor se empieza a transmitir, y la primera pregunta es cómo se transmite o cómo se dispersa el calor en este modelo, y luego, a la hora que alcanza el equilibrio cómo se observa la distribución de la temperatura, es decir, son las mismas preguntas, pero en este contexto.

A principios de la década de los noventa, el matemático japonés Jun Kigami demostró que se puede definir la energía de la distribución de calor en fractales a partir de un límite de energía, por lo que se pueden estudiar funciones armónicas en estos objetos.

Comparación teórica y cuestionamientos matemáticos

AIC: ¿Qué diferencias y similitudes ha encontrado en este análisis matemático?

RASC: Algunos aspectos del análisis armónico clásico sí se aplican al análisis armónico en fractales, pero otros no. Los métodos que se emplean en el análisis armónico provienen del cálculo, pero en el estudio en fractales no es posible por las propiedades de estos objetos, que son figuras geométricas que en todas las escalas tienen una complejidad que es imposible definir, por ello se desarrollan otras técnicas.

AIC: ¿Esta investigación se aplica a la vida cotidiana?

RASC: Lo que yo hago no se aplica directamente. El análisis armónico clásico tiene aproximadamente 200 años y buena parte de esta área de investigación es abstracta porque son cuestionamientos matemáticos. Aunque mi trabajo directamente no tiene aplicaciones sí se ha usado para estudiar la reproducción de bacterias espacialmente, no nada más en número, sino cómo se distribuyen porque no se diseminan uniformemente, por lo que es más fácil modelarlas en fractales que en superficies lisas.

Además este tipo de teoría tiene aplicaciones en ingeniería del petróleo porque esta sustancia se encuentra entre las fracturas de las rocas y ha sido útil a la hora de estudiar la presión de los pozos petroleros, dado que el cálculo no proporciona la información requerida en esta materia.

Por tal motivo he impartido cursos sobre análisis en fractales para que otros apliquen estos conocimientos, siendo una de las sedes el Instituto Mexicano del Petróleo (IMP), en donde los participantes han usado modelos matemáticos para estudiar la distribución del petróleo.

Una pregunta básica en análisis de Fourier consiste en si una función que se descompone se puede regresar a su estado original o no, lo que es fundamental también en fractales. Tenemos toda una teoría del análisis armónico y en mi investigación observo cuáles de esos resultados son ciertos en fractales y cuáles son distintos, además de que las técnicas son diferentes porque no se usa el cálculo.

AIC: ¿A qué técnicas se refiere?

RASC: A la hora de resolver ecuaciones diferenciales se dan soluciones explícitas a muchos problemas, pero en fractales no, por ello para demostrar propiedades de las soluciones la información se obtiene indirectamente de las propiedades de las soluciones, pero sin conocer explícitamente dichas soluciones. Los matemáticos estamos acostumbrados a ello porque no se tiene una fórmula para todo.

En análisis, los investigadores se preguntan si existen soluciones, si son únicas y si son regulares a pesar de que se perturbe el sistema. En fractales estas tres propiedades se demuestran de manera indirecta sin tener las soluciones explícitas. Cualquier pregunta del estudio armónico clásico se puede hacer en fractales, aunque la respuesta a veces concuerde y se demuestre un teorema y en otras cuestiones no se puede cumplir.

En la actualidad estoy trabajando en funciones armónicas en el interior del fractal, que no necesariamente tienen límite en la frontera.

Fuente: CONACYT.